De vez em quando volto a pensar em questões muito básicas de matemática. Uma das coisas que nunca percebi muito bem foi a diferença entre somas e produtos. Claro que não me estou a referir à diferença entre 2+3 e 2x3 (se bem que há uma relação com isto), estou-me a referir a somas e produtos na sua definição categórica (ver por exemplo
product e
coproduct-não esquecer que "soma" é sinónimo de "coproduto"). O que se passa é que algumas das minhas intuições mais antigas para estas coisas vêm de categorias muito especiais como a categoria dos conjuntos finitos e a categoria dos espaços vectoriais de dimensão finita. Ambas as categorias são distributivas e na categoria dos espaços vectoriais a soma coincide com o produto.
Recentemente os livros de Lawvere ("Sets for Mathematics" e "Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories") ajudaram-me a ver as coisas de um prisma diferente. Tem tudo a ver com as várias maneiras de ver funções entre conjuntos. A questão é que se
X é um conjunto arbitrário, as funções com domínio
X podem ser vistas como "propriedades" de
X e as funções com codomínio (ou conjunto de chegada)
X devem ser vistas como "amostras" (ou "parametrizações") de
X. Por exemplo se
A e
B são objectos e
X=
A+
B é a sua soma, a característica crucial de
X é ter as suas propriedades completamente determinadas pelas propriedades de
A e de
B. Já no caso em que
X=
Ax
B, são as "amostras" de
X que são completamente determinadas pelas de
A e de
B.
Vejamos o caso da soma. Se
A e
B são conjuntos de berlindes verdes e encarnados eu sei dizer quais são os berlindes verdes e encarnados de
X=A+B. Dito de outro modo se eu tenho funcões
f:A--->C e
g:B--->C (onde C é o conjunto das cores) fico com uma função bem determinada
h:X--->C. Por outro lado se eu escolher um berlinde de A e outro de B não tenho nenhuma maneira natural de escolher um berlinde de X compatível com aquelas escolhas. Ou seja dada funcões genéricas
f:C--->A e
g:C--->B não existe função
h:C--->X compatível com as inclusões.
Para analizarmos o caso do produto suponhamos um conjunto A de alunos de uma turma e um conjunto B de alunos de outra turma e consideremos o conjunto
X=Ax
B dos pares de alunos de
A e de
B. Se escolhermos um aluno
a de
A e um aluno
b de
B ficamos automáticamente com uma escolha
(a,b) de um par de
Ax
B. Dito de outro modo: dadas funções
f:C--->A e
g:C--->B (onde C é um conjunto com um só elemento) ficamos com uma função bem determinada
h:C--->X. Por outro lado se considerarmos o conjunto
C={rapaz, rapariga} e as funções óbvias
f:A--->C e
g:B--->C então não temos nenhuma maneira de escolher
g:X--->C (o que fazer no caso em que temos um par constituído por um rapaz e uma rapariga?)
